A cura di Silvia Defrancesco, Liceo Scientifico “G. Galilei”, Trento
(LFNS, XLVIII, supplemento, Q. N. 4 “I giocattoli e la scienza+la fisica in gioco”)
Introduzione
Si tratta di un gioco molto diffuso nei
musei, sia per mostrare un po’ di fisica,
sia per raccogliere fondi (fig.1). Il gioco
consiste nel lanciare una moneta all’interno
di un oggetto con una forma particolare,
simile (ma non uguale, come vedremo)
ad un imbuto. Si cercherà di fare in modo che la moneta venga inghiottita dal foro dell’imbuto il più tardi possibile.
Per quanto riguarda la fisica, esso permette
di simulare le orbite dei pianeti.
Il gioco può essere acquistato (con il nome di Vortx1), oppure fatto in casa.
Descrizione
Quando una sferetta (o una moneta) viene lanciata con opportuna velocità orizzontale all’interno dell’imbuto, essa descrive una traiettoria circolare che un po’ alla volta spiralizza verso il basso, mentre la sua velocità cresce gradualmente. Se la sua velocità iniziale è diretta anche verso l’alto, la sferetta sale e scende nel pozzo e la traiettoria vista dall’alto non è più circolare, ma ellittica. Non solo la traiettoria è ellittica, come per i pianeti, ma succede anche, come per i pianeti, che la velocità orizzontale della sferetta è più elevata in prossimità dell’asse dell’imbuto, mentre è minore quando si trova più lontana.
La traiettoria della sferetta appare dunque come l’orbita di un pianeta che ruota
attorno al Sole. Il foro dell’imbuto rappresenta il Sole, la sfera un pianeta e la
forza gravitazionale è fornita dalla parete dell’imbuto. Affinché la sferetta si comporti nel modo sopra descritto, il profilo dell’imbuto deve essere iperbolico. Vediamo perché2.
Supponiamo dapprima che la sferetta si trovi su un piano inclinato, privo di attrito
e di angolo α. Le forze che agiscono sulla sfera sono la forza peso FP e la reazione
del piano R. Affinché la sfera sia soggetta ad un moto circolare, la somma di queste due forze deve dare la forza centripeta (si veda la figura 2)
Fc = mac = mω2x.
Dunque:
R cosα = mg e R senα = mac .
Da cui:
tg α = ω2x/g . (1)
Supponiamo ora che il profilo del piano su cui si muove la sferetta sia a sezione
di iperbole e vediamo che conseguenze porta. L’equazione del profilo è y = –k/x
(il segno meno è stato scelto per ottenere una tangente positiva). La tangente dell’angolo
è la derivata prima della funzione, dunque:
tg α = k/x2. (2)
Uguagliando la (1) e la (2) si ottiene:
ω2x/g = k/x2 .
Sostituendo ω con 2 π /T, si ricava la terza legge di Keplero:
4π2x/T2g = k/x2,
ovvero:
x3/T2 = costante . (3)
La forza cui è soggetta la sferetta è la forza centripeta Fc = mω2x = m 4π2x/T2; sostituendo a T la (3) la forza risulta essere proporzionale all’inverso del quadrato della distanza: come la forza di gravitazione universale.
È necessario sottolineare che le orbite non
sono chiuse a causa della perdita di energia dovuta
alle forze di attrito.
Possibili estensioni
Può essere interessante filmare l’orbita della moneta e analizzarla con il software Tracker. Nella figura 3 si possono osservare alcune posizioni
della sfera.
Bilbiografia
[1] Video clip: http://www-toys.science.unitn.it/toys/en-html/en-m-imbuto.html.
[2] http://www.exo.net/~pauld/activities/astronomy/gravitywell.html.
[3] Una simulazione analoga si può fare con le lamine di sapone. Si veda: “Planets and galaxies on soap films”, di A.J. Ferreira de Oliveira e E. de Campos Valadares, The Physics Teacher, Vol. 44, Sept. 2006.
Note
1 http://www.teachersource.com/Energy/FantasticRides/TheVortx.aspx.
2 La dimostrazione mi è stata comunicata dal prof. Vittorio Zanetti, che ringrazio vivamente.
Fisica: a scuola, ma non solo... 